Qué es: un experimento de un solo ensayo con resultado binario: 1 (éxito) con probabilidad \(p\) o 0 (fracaso) con \(1-p\).

Cómo se usa: modelar situaciones de sí/no (clic o no clic, compra o no compra, acierto/error, etc.). Es el bloque básico: la Binomial se obtiene como la suma de ensayos Bernoulli.

• Soporte: \(\{0,1\}\)
• Parámetro: \(p\in(0,1)\) (probabilidad de éxito)
• PMF: \(P(X=1)=p,\; P(X=0)=1-p\)
• Media: \(E[X]=p\)
• Varianza: \(\Var(X)=p(1-p)\)
• MGF: \(M_X(t)=1-p+pe^t\)
• Propiedades: caso particular de Binomial con \(n=1\).
• Errores comunes: no definir claramente qué se considera “éxito” (confusión entre \(p\) y \(1-p\)).

set.seed(1)
x <- rbinom(10000, size=1, prob=0.2)
c(P0 = mean(x==0), P1 = mean(x==1), media = mean(x), var = var(x))

Qué es: el número de éxitos en \(n\) ensayos Bernoulli independientes con probabilidad de éxito \(p\).

Cómo se usa: conteos con un número fijo de intentos: p. ej., cantidad de envíos entregados de \(n\) intentos, aciertos en un test de \(n\) preguntas, defectos en un lote de tamaño \(n\).

• Soporte: \(\{0,1,\dots,n\}\)
• Parámetros: \(n\in\mathbb{N}\) (ensayos), \(p\in(0,1)\) (éxito)
• PMF: \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{\,n-k}\)
• Media: \(E[X]=np\)
• Varianza: \(\Var(X)=np(1-p)\)
• MGF: \(M_X(t)=(1-p+pe^t)^n\)
• Propiedades: suma de \(n\) variables Bernoulli. Para \(n\) grande, \(X\approx \mathcal{N}(np,\;np(1-p))\) (aprox. normal). Si \(p\) es muy pequeño y \(n\) grande con \(\lambda=np\) fijo, \(X\approx \Pois(\lambda)\) (eventos raros).
• Errores comunes: aplicar Binomial cuando los ensayos no son independientes o cuando no hay reemplazo (en muestreo sin reemplazo corresponde Hipergeométrica).

n <- 10; p <- 0.3
dbinom(3, size=n, prob=p)
1 - pbinom(2, size=n, prob=p)
# media y varianza
c(media = n*p, var = n*p*(1-p))

Qué es: número de fracasos antes del primer éxito (asumimos esta convención).

Cómo se usa: tiempo o cantidad de intentos hasta lograr un primer acierto: por ejemplo, la cantidad de ensayos hasta detectar el primer bug, primer clic, primera venta, etc.

• Soporte: \(\{0,1,2,\dots\}\)
• Parámetro: \(p\in(0,1)\) (probabilidad de éxito en cada intento)
• PMF: \(P(X=k)=p(1-p)^k\) (cero éxitos en \(k\) ensayos y éxito en el siguiente)
• CDF: \(P(X\le k)=1-(1-p)^{\,k+1}\)
• Media: \(E[X]=\frac{1-p}{p}\)
• Varianza: \(\Var(X)=\frac{1-p}{p^2}\)
• MGF: \(M_X(t)=\frac{pe^t}{\,1-(1-p)e^t\,},\) válida para \(t<-\ln(1-p)\)
• Propiedades: falta de memoria (única distribución discreta con esta propiedad): \(P(X>m+n\mid X>m)=P(X>n)\).
• Errores comunes: confundir la definición (si \(X\) incluye o no el ensayo exitoso) — aclarar si \(X=0\) significa éxito al primer intento. También asumir indebidamente que \(p\) cambia en cada ensayo (debe ser constante).

p <- 0.4
dgeom(2, prob=p)                   # P(X = 2)
pgeom(2, prob=p, lower.tail=FALSE) # P(X ≥ 3)
# media y varianza
c(media = (1-p)/p, var = (1-p)/p^2)

Qué es: número de éxitos al extraer sin reemplazo \(n\) elementos de una población finita de tamaño \(N\) que contiene \(K\) éxitos (y \(N-K\) fracasos).

Cómo se usa: muestreos sin reemplazo en control de calidad, loterías, auditorías y selección de lotes.

• Soporte: \(\{0,1,\dots,n\}\) (en realidad, máx. \(\min(n,K)\))
• Parámetros: \(N\) (tamaño población), \(K\) éxitos en la población, \(n\) tamaño de muestra sin reemplazo
• PMF: \(\displaystyle P(X=k)=\frac{\binom{K}{\,k\,}\,\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{\,n\,}}\)
• Media: \(E[X]=n\frac{K}{N}\)
• Varianza: \(\Var(X)=n\frac{K}{N}\Big(1-\frac{K}{N}\Big)\frac{N-n}{\,N-1\,}\)
• MGF: no tiene forma cerrada simple
• Propiedades: sin reemplazo (dependencia negativa entre ensayos). Varianza menor que la binomial equivalente (factor \(\frac{N-n}{N-1}\)).
• Errores comunes: usar Binomial cuando el muestreo es sin reemplazo (ignora la dependencia), o confundir los parámetros \(N, K, n\).

N <- 40; K <- 10; n <- 5
dhyper(2, K, N-K, n)
1 - (dhyper(0, K, N-K, n) + dhyper(1, K, N-K, n))
# media y varianza
c(media = n*(K/N), var = n*(K/N)*(1-K/N)*((N-n)/(N-1)))

Qué es: número de fracasos antes de obtener \(r\) éxitos, con probabilidad de éxito \(p\) en cada intento (generaliza la Geométrica, que es el caso \(r=1\)).

Cómo se usa: conteos donde se persigue un número fijo de éxitos (p. ej. cuántos intentos fallidos hasta lograr \(r\) aciertos). También modela conteos con sobre-dispersión frente a Poisson (vía mezcla Gamma–Poisson).

• Soporte: \(\{0,1,2,\dots\}\)
• Parámetros: \(r>0\) (número de éxitos objetivo; usualmente entero), \(p\in(0,1)\)
• PMF: \(P(X=k)=\displaystyle\binom{k+r-1}{\,k\,}(1-p)^k\,p^r\)
• Media: \(E[X]=r\frac{1-p}{p}\)
• Varianza: \(\Var(X)=r\frac{1-p}{p^2}\)
• MGF: \(M_X(t)=\Big(\frac{p}{\,1-(1-p)e^t\,}\Big)^r,\) válido para \(t<-\ln(1-p)\)
• Propiedades: suma de \(r\) variables Geométricas i.i.d. (espera de \(r\) éxitos). Equivale a una mezcla Poisson-Gamma: \(X\) es Poisson cuyo parámetro \(\lambda\) es aleatorio ~Gamma(\(r\),\(\theta=\tfrac{1-p}{p}\)). Esto explica su varianza > media (sobre-dispersión).
• Errores comunes: confundirla con la Binomial (aquí \(n\) no es fijo, se “juega” hasta lograr \(r\) éxitos). También existen distintas parametrizaciones (contar fracasos vs contar ensayos totales hasta el r-ésimo éxito); aclarar la convención usada.

r <- 2; p <- 0.5
dnbinom(4, size=r, prob=p)
pnbinom(4, size=r, prob=p)
# media y varianza
c(media = r*(1-p)/p, var = r*(1-p)/p^2)

Qué es: número de eventos que ocurren en un intervalo fijo (tiempo, espacio, etc.) cuando suceden de manera independiente y con tasa media constante \(\lambda\).

Cómo se usa: conteos de eventos aleatorios en un lapso: llamadas por minuto, defectos por página, llegadas a una cola por hora, accidentes por año, etc.

• \(\lambda\) (tasa media): valor esperado de eventos por intervalo (p. ej., “3 eventos por minuto” implica \(\lambda=3\)).
• Soporte: \(\{0,1,2,\dots\}\)
• Parámetro: \(\lambda>0\)
• PMF: \(P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\)
• Media: \(E[X]=\lambda\)
• Varianza: \(\Var(X)=\lambda\)
• MGF: \(M_X(t)=\exp(\lambda(e^t-1))\)
• Propiedades: suma de Poisson independientes es Poisson (las tasas suman). Para \(\lambda\) grande, \(X\approx \mathcal{N}(\lambda,\lambda)\). La Binomial \(B(n,p)\) se aproxima a \(\Pois(np)\) si \(n\) grande, \(p\) pequeño (\emph{ley de eventos raros}).
• Errores comunes: asumir modelo Poisson sin verificar independencia o tasa constante (si hay sobre-dispersión, conviene Binomial Negativa). También confundir que \(\lambda\) es a la vez media y varianza: en datos Poisson reales, suele cumplirse \(\text{media}\approx \text{var}\).

lambda <- 3
dpois(3, lambda)
1 - ppois(2, lambda)
# media y varianza
c(media = lambda, var = lambda)